Найти основной период функции

Периодичность функций

Периодичность тригонометрических функций

Величины углов (аргументы функций): \( \alpha \)
Тригонометрические функции: \( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \), \( \tan \alpha \), \( \cot \alpha \), \( \sec \alpha \), \( \csc \alpha \)
Целые числа: \( n \)

Периодической называется функция, которая повторяет свои значения через какой-то регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода функции): существует такое ненулевое число \(T\) (период), что на всей области определения функции выполняется равенство \( f(x)=f(x+T) \).

Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) являются периодическими.

\( \sin x,\;\cos x \) — периодические функции с наименьшим положительным периодом \( 2\pi: \)

\( \sin(x+2k\pi)=\sin x,\;\cos(x+2k\pi)=\cos x,\;k\in\mathbb{Z}. \)

\( \text{tg}x,\;\text{ctg}x \) — периодические функции с наименьшим положительным периодом \( \pi: \)

\( \text{tg}(x+k\pi)=\text{tg}x,\;\text{ctg}(x+k\pi)=\text{ctg}x,\;k\in\mathbb{Z}. \)

Тригонометрические функции \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \) являются периодическими, с наименьшим периодом равным \( 2 \pi \).

Тригонометрические функции \( \tan \alpha \) и \( \cot \alpha \) являются периодическими, с наименьшим периодом равным \( \pi \).

Наименьший период функции синус составляет \( 2\pi \) или \( 360^\circ \):

\( \sin \left( {\alpha \pm 2\pi n} \right) = \sin \alpha \)

Наименьший период функции косинус составляет \( 2\pi \) или \( 360^\circ \):

\( \cos \left( {\alpha \pm 2\pi n} \right) = \cos \alpha \)

Наименьший период функции тангенс равен \( \pi \) или \( 180^\circ \):

\( \tan \left( {\alpha \pm \pi n} \right) = \tan \alpha \)

Наименьший период функции котангенс равен \( \pi \) или \( 180^\circ \):

\( \cot \left( {\alpha \pm \pi n} \right) = \cot \alpha \)

Наименьший период функции секанс составляет \( 2\pi \) или \( 360^\circ \):

\( \sec \left( {\alpha \pm 2\pi n} \right) = \sec \alpha \)

Наименьший период функции косеканс составляет \( 2\pi \) или \( 360^\circ \):

\( \csc \left( {\alpha \pm 2\pi n} \right) = \csc \alpha \)

ТригонометрияМатематикаТригонометрияФормулыТеория

§ 7. Простейшие формулы

Как найти период тригонометрической функции

Тригонометрические функции периодичны, то есть повторяются через определенный период. Благодаря этому достаточно исследовать функцию на этом промежутке и распространить найденные свойства на все остальные периоды.

Инструкция

  • Если вам дано простое выражение, в котором присутствует лишь одна тригонометрическая функция (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), причем угол внутри функции не умножен на какое-либо число, а она сама не возведена в какую-либо степень – воспользуйтесь определением. Для выражений, содержащих sin, cos, sec, cosec смело ставьте период 2П, а если в уравнении есть tg, ctg – то П. Например, для функции у=2 sinх+5 период будет равен 2П.
  • Если угол х под знаком тригонометрической функции умножен на какое-либо число, то, чтобы найти период данной функции, разделите стандартный период на это число. Например, вам дана функция у= sin 5х. Стандартный период для синуса – 2П, разделив его на 5, вы получите 2П/5 – это и есть искомый период данного выражения.
  • Чтобы найти период тригонометрической функции, возведенной в степень, оцените четность степени. Для четной степени уменьшите стандартный период в два раза. Например, если вам дана функция у=3 cos^2х, то стандартный период 2П уменьшится в 2 раза, таким образом, период будет равен П. Обратите внимание, функции tg, ctg в любой степени периодичны П.
  • Если вам дано уравнение, содержащее произведение или частное двух тригонометрических функций, сначала найдите период для каждой из них отдельно. Затем найдите минимальное число, которое умещало бы в себе целое количество обоих периодов. Например, дана функция у=tgx*cos5x. Для тангенса период П, для косинуса 5х – период 2П/5.

    Найти период функции

    Минимальное число, в которое можно уместить оба этих периода, это 2П, таким образом, искомый период – 2П.

  • Если вы затрудняетесь действовать предложенным образом или сомневаетесь в ответе, попытайтесь действовать по определению. Возьмите в качестве периода функции Т, он больше нуля. Подставьте в уравнение вместо х выражение (х+Т) и решите полученное равенство, как если бы Т было параметром или числом. В результате вы найдете значение тригонометрической функции и сможете подобрать минимальный период. Например, в результате упрощения у вас получилось тождество sin (Т/2)=0. Минимальное значение Т, при котором оно выполняется, равно 2П, это и будет ответ задачи.

© CompleteRepair.Ru

Периодичность функции

Функция называется периодической функцией, если существует число , такое что верно равенство

График периодической функции имеет повторяющиеся участки на каждом промежутке длиной T. Наименьшее из чисел T называется наименьшим периодом функции. По умолчанию буквой Т обозначают именно наименьший период, (рис.47).

Рис.47

Исследование периодической функции и построение ее графика следует проводить на промежутке, длина которого равна наименьшему периоду функции; этот промежуток часто называют основным промежутком для периодической функции.

Ниже перечислены некоторые свойства периодических функций.

Периодическая функция не может быть задана на множестве, ограниченном сверху или ограниченном снизу.

Например, функция , не является периодической.

Если число является периодом функции , то число , где , также является ее периодом.

Например, функция , является периодической, её наименьший период и числа , также являются ее периодами.

Если число – это наименьший период функции , то функция является также периодической и ее наименьший период равен числу .

Например, функция , является периодической и ее наименьший период равен .

При сложении двух периодических функций с одинаковыми ООФ получается периодическая функция, причем ее наименьший период делится нацело на и на , где , – это наименьшие периоды слагаемых.

Например, – периодическая с , – периодическая с – периодическая с , так как и .

Примеры (исследование периодичности функций)

1. Является ли функция периодической? Чему равен ее наименьший период?

Решение

Известно, что основная элементарная функция является периодической с наименьшим периодом .

Проверим равенство для данной функции:

По выполнению равенства заключаем, что данная функция является периодической с периодом . Чтобы найти наименьший период, понизим степень выражения по известной тригонометрической формуле: .

Тогда .

Теперь имеем сумму двух периодических функций:

, ,

, периодом является любое положительное число;

следовательно, данная функция имеет наименьший период ; поэтому исследовать ее свойства и строить график достаточно на основном промежутке, например при , а затем сделать периодическое продолжение на всю ООФ.

Ответ: функция является периодической с наименьшим периодом .

2. Является ли функция периодической?

Решение

Данная сложная функция не является периодической, так как не является периодической её промежуточная функция , "искажающая" те значения аргумента x, для которых одинаковые значения имела бы функция .

Для иллюстрации сказанного проверим расположение нулей данной функции:

Имеем множество всех нулей функции:

Видим, что нули функции располагаются непериодически на оси OX.

Периодическая функция

Следовательно, данная функция не является периодической (так как в противном случае все её свойства, в том числе и нули, повторялись бы периодически).

Ответ: функция не является периодической.

3. Укажите, какие из следующих функций являются периодическими?

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Решение

1) функция периодической не является, так как равенство не выполняется, например, для точки , потому что точка из-за ограниченности снизу ООФ, (рис.48);

2) функция периодической не является, так как равенство не выполняется, например, для точки , (рис.49);

Рис.48 Рис.49

3) функция является периодической с наименьшим периодом , что хорошо видно по ее графику на рис. 50;

4) функция является периодической с наименьшим периодом , что хорошо видно по ее графику на рис. 51;

Рис. 50 Рис.51

Ответ: периодическими являются только функции 3) и 4).

Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 2536;

Тригонометрические функции

Основная сложность тригонометрических функций состоит в том, что при решении уравнений возникает бесконечное множество корней. Например, уравнение sin x = 0 имеет корни x = πn, n ∈ Z. Ну и как отмечать их на координатной прямой, если таких чисел бесконечно много?

Ответ прост: надо подставлять конкретные значения n. Ведь в задачах B15 с тригонометрическими функциями всегда есть ограничение — отрезок . Поэтому для начала берем n = 0, а затем увеличиваем n до тех пор, пока соответствующий корень не «вылезет» за пределы отрезка . Аналогично, уменьшая n, очень скоро получим корень, который меньше нижней границы.

Несложно показать, что никаких корней, кроме полученных в рассмотренном процессе, на отрезке не существует. Рассмотрим теперь этот процесс на конкретных примерах.

Задача. Найдите точку максимума функции, принадлежащую отрезку :

y = sin x − 5x sin x − 5cos x + 1

Вычисляем производную:

y’ = (sin x − 5x sin x − 5cos x + 1)’ = … = cos x − 5x cos x =(1 − 5x) cos x

Затем решаем уравнение:

y’ = 0;
(1 − 5x) cos x = 0;

x1 = 0,2;
x2 = π/2 + πn, n ∈ Z.

С корнем x = 0,2 все понятно, а вот формула x = π/2 + πn требует дополнительной обработки. Будем подставлять разные значения n,начиная с n = 0.

n = 0 ⇒ x = π/2

Но π/2 > π/3, поэтому корень x = π/2 не входит в исходный отрезок. Кроме того, чем больше n,тем больше x, поэтому нет смысла рассматривать n > 0.

n = −1 ⇒ x = − π/2

Но −π/2 < −π/3 — этот корень тоже придется отбросить. А вместе с ним — и все корни для n < −1.

Получается, что на отрезке лежит только корень x = 0,2. Отметим его вместе со знаками и границами на координатной прямой:

Чтобы удостовериться, что справа от x = 0,2 производная действительно отрицательная, достаточно подставить в производную значение x = π/4. Мы же просто отметим, что в точке x = 0,2 производная меняет знак с плюса на минус, а следовательно, это точка максимума.

Задача. Найдите наибольшее значение функции на отрезке :

y = 4 tg x − 4x + π − 5

Вычисляем производную:

y’ = (4tg x − 4x + π − 5)’ = 4/cos 2x − 4.

Затем решаем уравнение:

y’ = 0 ⇒ 4/cos 2x − 4 = 0 ⇒ … ⇒ x = πn, n ∈ Z.

Снова выделим из этой формулы корни, подставляя конкретные n,начиная с n = 0:

n = 0 ⇒ x = 0. Этот корень нам подходит.
n = 1 ⇒ x = π. Но π > π/4, поэтому корень x = πи значения n > 1 надо вычеркнуть.
n = −1 ⇒ x = −π.

Алгебра – 10 класс. Периодичность тригонометрических функций

Но −π < −π/4,поэтому x = −πи n < −1 тоже вычеркиваем.

Из всего многообразия корней остался лишь один: x = 0. Поэтому вычисляем значение функции дляx = 0, x = π/4и x = −π/4. Имеем:

y(0) = 4tg 0 − 4 · 0 + π − 5 = π − 5;
y(π/4) = 4tg π/4 − 4 · π/4 + π − 5 = 1;
y(−π/4) = 4tg (−π/4) − 4 · (−π/4) + π − 5 = … = 2π − 9.

Теперь заметим, что π = 3,14… < 4,поэтому π − 5 < 4 − 5 < 0и 2π − 9 < 8 − 9 < 0. Получается одно положительное число и два отрицательных. Мы ищем наибольшее — очевидно, это y = 1.

Заметим, что в последней задаче можно было и не сравнивать числа между собой. Ведь из чисел π − 5, 1 и 2π − 9 в бланк ответов можно записать лишь единицу.

Действительно, как написать в бланке, скажем, число π? А никак. Это важная особенность первой части ЕГЭ по математике, которая значительно упрощает решение многих задач. И работает она не только в B15.

Случай пустого множества решений

Иногда при исследовании функции возникают уравнения, у которых нет корней. В таком случае задача становится еще проще, поскольку остается рассмотреть лишь концы отрезка.

Однако будьте предельно внимательны, поскольку такие задачи встречаются в ЕГЭ крайне редко. Если в процессе решения выясняется, что корней нет, лучше еще раз проверить все выкладки. И только когда убедитесь, что ошибок нет, можно расслабиться: вам досталась легкая задача!

Задача. Найдите наименьшее значение функции на отрезке :

y = 7sin x − 8x + 5

Сначала находим производную:

y’ = (7sin x − 8x + 5)’ = 7cos x − 8

Попробуем решить уравнение:

y’ = 0 ⇒ 7cos x − 8 = 0 ⇒ cos x = 8/7

Но значения cos x всегда лежат на отрезке ,а 8/7 > 1. Поэтому корней нет.

Если корней нет, то и вычеркивать ничего не надо. Переходим к последнему шагу — вычисляем значение функции:

y(−3π/2) = 7sin (−3π/2) − 8 · (−3π/2) + 5 = … = 12π + 12;
y(0) = 7sin 0 − 8 · 0 + 5 = 5.

Поскольку число 12π + 12 в бланк ответов не записать, остается лишь y = 5.

Смотрите также:

  1. Задача B15: Линейные выражения под знаком тригонометрической функции
  2. Сложные задачи B15: комбинация тригонометрии и многочленов
  3. Что такое логарифм
  4. Решение задач B6: №362—377
  5. Как не ошибиться, если я ищу репетитора по математике
  6. Процент: налоги и зарплата. Считаем с помощью коэффициентов

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *